Глава 1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

§ 1.1.    Измерение длин и времен.
             Система отсчета

Изучение механики науки о перемещении тел или частей те­ла относительно друг друга мы начнем со знакомства с ее простей­шим разделом кинематикой. Кинематика рассматривает движение с геометрической точки зрения, не анализируя причин (т.е. сил), придающих ему тот или иной характер. От геометрии она отличается, по существу, лишь необходимостью учета времени.

Понятия пространства и времени, используемые для описания движения, являются весьма сложными по своему смыслу и не подда­ются определению через другие более простые понятия. Однако все мы интуитивно представляем, что это такое: ведь в значительной сте­пени суть этих понятий содержится в самой процедуре их измерения, а с этой процедурой мы хорошо знакомы из повседневного опыта. В механике Ньютона метрические свойства пространства и времени считаются абсолютными, не зависящими друг от друга и от движения наблюдателя, производящего измерения*).

Как же практически определяются длины отрезков и длительно­сти временных интервалов? По принципу, лежащему в основе многих измерений в физике: путем сравнения с установленной единицей. Для нахождения длины какого-либо отрезка нужно взять единицу длины и посмотреть, сколько раз она (или какая-либо известная ее часть) со­держится в этом отрезке. Аналогично мерится и время, хотя его изме­рение и имеет свою специфику: один и тот же интервал нельзя изме­рить дважды и одну и ту же "единицу времени" нельзя (как единицу длины) "прикладывать" к различным частям измеряемого интервала, чтобы узнать, сколько раз она в нем содержится. Поэтому приходится использовать много одинаковых временных единиц, вплотную примы­кающих друг к другу и целиком заполняющих рассматриваемый отре­зок времени. Такой последовательностью единиц может служить ка­кой-либо периодический процесс, т.е. процесс, при котором измери­тельное устройство в точности повторяет раз за разом одинаковые движения. Число единиц-периодов, укладывающихся на определенном интервале, и называется его длительностью**).

Одним из центральных вопросов метрологии науки об изме­рениях является вопрос выбора и воспроизведения эталонов длины и времени. До сравнительно недавнего времени (еще несколько десяти­летий назад) эталоны эти связывались с протяженностью определен­ного (Парижского) меридиана земного шара***) и длительностью су­точного вращения Земли. В настоящее время приняты новые, значи­тельно более стабильные и достаточно легко воспроизводимые эталоны (равные с максимально достижимой сегодня точностью старым, вели­чины которых на текущий момент и были зафиксированы новыми стандартами). Сейчас метр, служащий эталоном длины (и являющий­ся одновременно ее единицей в системе СИ) это длина пути, проходимого светом в вакууме за строго определенное время. Эталон же времени секунда (одновременно и единица времени в СИ) это интервал, равный заданному числу периодов излучения атома  цезия-133 тоже при фик­сированных условиях.

Для описания движения тел мало уметь измерять расстояния и времена. Нужно знать еще, от какого момента следует отсчитывать время и от какой точки (или каких точек) и куда расстояния. Дру­гими словами, любое движение должно рассматриваться в определен­ной системе отсчета. Под системой отсчета мы понимаем произ­вольно выбранное твердое тело так называемое тело отсчета****) , свя­занную с этим телом систему координат и прибор для измерения времени "часы". Задание системы координат предполагает выбор тех величин, которыми определяется положение тела в пространстве, а также указание того, откуда и как их откладывать. Наиболее распро­страненной является декартова система координат, однако существуют и другие (например, цилиндрическая, сферическая и проч.). Часы должны показывать время тоже относительно начала отсчета.

В различных системах отсчета одно и то же движение может выглядеть совершенно по-разному. Например, брошенный вертикаль­но вверх с палубы равномерно плывущего корабля мяч движется отно­сительно палубы по прямой, в то время как наблюдателю, стоящему на берегу, это движение представится уже криволинейным. Если этот наблюдатель сядет еще и во вращающуюся карусель и свяжет с ней координатную систему, то в этой системе движение мяча еще более усложнится. В каждом конкретном случае, конечно, нужно выбирать такую систему отсчета, в которой рассматриваемое явление выглядит наиболее просто. Это единственный критерий выбора системы отсчета в кинематике. Никаких принципиальных преимуществ здесь у одной системы перед другой (в отличие от динамики) не существует. Связа­но это с тем обстоятельством, что все "законы" кинематики исчерпы­ваются процедурами измерения длин и времен, а процедуры эти (по определению) совершенно одинаковы в любой системе отсчета. Именно поэтому все они и оказываются абсолютно равноправными.

Как же в самом общем случае описать движение окружающих нас объектов, которые могут иметь очень сложное строение и двигаться весьма разнообразно? Для такого описания поступают следующим об­разом: разбивают исследуемое тело на малые элементы и следят за пе­ремещениями каждого из них. Элементы эти должны быть настолько малыми, чтобы все частицы любого из них двигались одинаково в пре­делах заданной точности. Размеры и форма такого элемента оказыва­ются при этом уже несущественными, ибо движение его полностью определяется движением какой-либо одной его точки. Такие элементы называются материальными точками*) . Например, соскальзывающий с треугольной призмы (наклонной плоскости) брусок можно считать материальной точкой, а скатывающийся с нее цилиндр, каким бы малым он ни был по сравнению с призмой, нельзя: благодаря вращению различные части цилиндра движутся существенно по-раз­ному и это сказывается на движении его центра.

Понятие материальной точки является весьма важным в меха­нике, ибо, с одной стороны, выделяет перед нами простейший объект для исследования, с другой определяет "универсальный" элемент, из  совокупности которых может быть составлена любая сколь угодно сложная система. Итак, для описания движения произвольной совокупности тел, в при­нципе, достаточно уметь описывать движение материальной точки.

§ 1.2. Способы задания движения точки

Задать движение точки означает задать ее положение в каждый момент времени. Положение это должно определяться, как уже отме­чалось, в какой-либо системе координат. Однако для этого не обяза­тельно всегда задавать сами координаты; можно использовать величи­ны, так или иначе с ними связанные. Ниже описаны три основных способа задания движения точки.

1. Естественный способ. Этим способом пользуются, если из­вестна траектория движения точки. Траекторией называется совокуп­ность точек пространства, через которые проходит движущаяся мате­риальная частица. Это линия, которую она вычерчивает в пространстве. При есте­ст­венном способе необходимо задать (рис. 1):

а) траекторию движения (отно­си­тель­но какой-либо системы коор­динат);

б) произвольную точку на ней нуль, от которого отсчитывают расстояние S до движущейся частицы вдоль траектории;

в) положительное направление от­счета S (при смещении точки М в противоположном направлении S  отрицательно);

г) начало отсчета времени t;

д) функцию S(t), которая называется законом движения**) точки.

2. Координатный способ. Это наиболее универсальный и ис­черпывающий способ описания движения. Он предполагает задание:

а) системы координат (не обязательно декартовой) q1, q2, q3;

б) начало отсчета времени t;

в) закона движения точки, т.е. функций q1(t), q2(t), q3(t).

 Говоря о координатах точки, мы всегда будем иметь в виду (если не оговорено противное) ее декартовы координаты.

3. Векторный способ. Положение точки в пространстве может быть определено также и радиус-вектором, проведенным из некоторо­го начала в данную точку (рис. 2). В этом случае для описания дви­жения необходимо задать:

а) начало отсчета радиус-вектора r;

б) начало отсчета времени t;

в) закон движения точки r(t).

Поскольку задание одной векторной величины r эквивалентно заданию трех ее проекций x, y, z на оси координат, от век­торного способа легко перейти к коорди­натному. Если ввести единичные векторы i, j, k ( i = j = k = 1), направленные соответственно вдоль осей x, y и z (рис. 2), то, очевидно, закон движения может быть представлен в виде*)

r(t) = x(t)i +y(t)j+z(t)k.                                                                     (1)

Преимущество векторной формы записи перед координатной в компактности (вместо трех величин оперируют с одной) и часто в большей наглядности.

Пример. На неподвижную проволочную полуокружность на­дето маленькое колечко М, через которое проходит еще прямолиней­ный прут АВ (рис. 3), равномерно вращающийся вокруг точки А ( = t,   где =const). Найти законы движения ко­лечка М вдоль стержня АВ и относительно полуокружности.

 Для решения первой части задачи воспользуемся координатным способом, направив ось х декартовой системы вдоль стержня и выбрав ее начало в точке А. Поскольку вписанный АМС прямой (как опирающийся на диаметр),

x(t) = AM = 2Rcos = 2Rcoswt,

где R радиус полуокружности. Полученный закон движения назы­вается гармоническим колебанием (колебание это будет продолжаться, очевидно, лишь до того момента, пока колечко не дойдет до точки А).

Вторую часть задачи будем решать, используя естественный спо­соб. Выберем положительное направление отсчета расстояния вдоль траектории (полуокружности АС) против часовой стрелки (рис. 3), а нуль совпадающим с точкой С. Тогда длина дуги СМ как функция времени даст закон движения точки М

S(t) = R2 = 2R t, 

т.е. колечко будет равномерно двигаться по окружности радиусом R с угловой скоростью 2 . Как явствует из проведенного                 рассмотрения,

нуль отсчета времени в обоих случаях соответствовал моменту, когда колечко находилось в точке С.

`§ 1.3. Криволинейное движение точки

1. Основные понятия. Введем основные кинематические ха­рактеристики движения точки, рассматривая сразу ее криволинейное, т.е. происходящее по криволинейной траектории, движение. Аналогичные характеристики более простого прямолинейного движе­ния будут вытекать из нашего рассмотрения как частные случаи.

Рассмотрим два положения движущейся точки, разделенные не­которым конечным интервалом времени t (рис. 4). Пусть в момент t1 она занимала положение М1, определяемое радиус-вектором r1{x1,y1,z1}, а в момент t2   положение М2, задаваемое радиус-векто­ром r2{x2,y2,z2} (в фигурных скобках после обозначения вектора мы, когда это необходимо, будем указывать его проекции на оси коорди­нат). Вектор

r = r2–r1                                     (2)

называется вектором перемещения или просто перемещением  точки  за  проме­жуток    времени  t = t2–t1. Отношение перемещения r к промежутку времени Dt, за которое это перемещение произошло, называется вектором средней скорости vср в течение интервала t:

vср= r/ t =(r2 – r₁)/(t2 – t1).                                            (3)

Вектор этот имеет, очевидно, то же направление, что и r, и величину, выраженную в других единицах. При уменьшении интер­вала времени  (и фиксированном значении t1) точка М2 будет неог­раниченно приближаться к М1. При этом вектор r будет тоже уменьшаться по величине, а направление его все ближе подходить к направлению касательной к траектории в точке М1. Вектор

,                                                              (4)

т.е. предел, к которому стремится вектор средней скорости при t 0, называется мгновенной скоростью или просто скоростью точки в момент t1. Это производная радиус-вектора r по времени t. Она направлена по касательной к траектории в сторону движения точки. Здесь использована одна из общепринятых форм записи производных в виде отношения бесконечно малого приращения dr функции (в данном случае векторной) к бесконечно малому приращению аргу­мента dt.

Соотношения (2) (4) могут быть написаны в проекциях на оси координат (т.е. вместо каждого из них представлены по три их проекции). Например, из (2) и (4) следует

rx=x2 - x1= x,

ибо, очевидно, проекция разности двух векторов равна разности их проекций,

Таким образом, проекция скорости движущейся точки на ка­кую-либо из осей (например х) равна производной соответствующей координаты по времени (производные по времени первого, второго и т.д. порядков чаще обозначают не штрихами рядом с буквой, а точка­ми над ней).

Под путем, пройденным точкой за время t, понимают длину траектории (описанной ей за это время), отсчитанную в направле­нии движения точки. Если в каких-то местах траектории точка оста­навливалась и меняла направление движения на противоположное, то для расчета пути нужно разбить траекторию на участки, где точка дви­галась без остановок, и сложить их длины. Таким образом, с течением времени путь может только нарастать.

Если разделить пройденный путь l на интервал времени t, то получим средний модуль скорости |v|ср в течение этого интервала:

.                                                                                    (5)

Вектор средней скорости (3) и средний модуль скорости (5) совершенно различные характеристики движения. Первая указывает направление перемещения точки и по величине может принимать любые, в том числе и нулевые, значения. Вторая не имеет направления, характеризует прой­денный путь и всегда положительна.

Пример. Маленький шарик, висящий на нерастяжимой нити, отклонили от поло­жения равновесия на некоторый угол и отпу­стили без начальной скорости (рис. 5). Пройдя положение равновесия и отклонив­шись в другую сторону, он через некоторое время (период) Т снова придет в исходное состояние и далее многократно будет повто­рять описанное движение. Найти вектор пе­ремещения и пройденный путь за время 3T/2, а также вектор средней скорости и средний модуль скорости в течение интервала 4Т.

Из соображений симметрии понятно, что через время 3T/2 шарик будет в положении В. Вектор, соединяющий начальную и ко­нечную точки, и будет перемещением шарика за время 3T/2:

r1 = AB.

При расчете пути необходимо принять во внимание, что за время движения шарик дважды остановится (через время Т/2 в точке В и еще через Т/2 в точке А), разбивая траекторию на три равных участка, накладывающихся друг на друга. Стало быть, длина пути l1 равна утроенной длине такого участка, т.е.

l1 = 3 l0,

где l0  длина дуги АВ.

Для решения второй части задачи учтем, что через время 4Т шарик вернется в положение А. Следовательно, векторы перемещения и средней скорости будут равны нулю:

r2 = 0,  vср = 0.

Пройденный за это время путь l2, очевидно, равен длине дуги АВ, умноженной на число полупериодов Т/2 в рассматриваемом ин­тервале 4Т, так что средний модуль скорости

| v |ср=8 l0/4T=2 l0/T.

Наиболее полно движение точки характеризует, конечно, ее мгновенная скорость v, заданная в любой момент времени. Если она постоянна по величине и направлению, то такое движение называется равномерным прямолинейным. Если v меняется, то движение называ­ется ускоренным. Изменение вектора v за какой-либо интервал вре­мени t характеризуют средним ускорением aср в течение этого ин­тервала.

Пусть v1  скорость точки в момент t1, а v2  в момент t2 (рис. 6). Вектор

  ,                               (6)

называется средним ускорением точки за промежуток времени t = t2 - t1. Напомним, что для построения разности двух векторов v2 и v1, выходящих не из одной точки, нужно предва­рительно совместить их начала, например, перенеся, как это сделано на рис. 6, вектор v2 в точку М1 (сохраняя, конечно, его величину и направление): .

Переходя в (6) к пределу при t 0 (т.е. поступая так же, как при определении мгновенной скорости), получим мгновенное ускоре­ние (или просто ускорение)

,                                                                          (7)

характеризующее движение точки в какой-то момент времени. Вектор a может быть, конечно, представлен и тремя своими проекциями на оси координат:

.                          (8)

А как он ориентирован относительно траектории движения? Мгновенная скорость, как мы видели, всегда направлена по касатель­ной к ней. Понятно, что для ответа на поставленный вопрос одного вида траектории мало: в общем случае ускорение не будет совпадать по направлению с касательной к траектории и наряду с продольной составляющей, учитывающей изменение вектора v по величине, будет иметь поперечную, характеризующую скорость его поворота. Если ввести единичные векторы t и n, направленные соответственно вдоль скорости и перпендикулярно к ней в сторону ее поворота (рис.7), то вектор a, очевидно, можно предста­вить в виде

= + n,                                       (9)

где  и  ¾ так называемые тангенциальная и нормальная проекции ускорения, а v  и vn ¾ проекции вектора приращения скорости на те же направления и n. Найдем и .

2. Тангенциальное и нормальное ускорения. Рассмотрим участок траектории движущейся точки и какие-либо два ее положения М1 и М2, разделенные малым интервалом времени (рис.8,а). Пусть в положении М1, соответствую­щем моменту t1, ско­рость точки рав­­на v1, а в положении М2 ¾ v2. Построим век­­тор v=v2 -v1 (как это мы де­ла­ли при опреде­ле­­нии среднего уско­­ре­ния) и най­дем его про­екции v  и vn на танген­ци­аль­ное и нор­маль­­ное на­пра­вления, задаваемые векторами и n, проведенными через точку М1 (рис. 8, б):

v =|v2 |cos |v1 | v2 | v1 |,

vn=|v2 |sin | v2 | ,

где угол между v1 и v2 (мы учитываем, что угол этот мал, так что cos 1, а sin ) Если вос­ставить в точках М1 и М2 пер­пен­ди­ку­­­ляры к тра­екто­­­­­­­­­­рии, то они  пе­­ре­­­се­кутся, оче­­­­­вид­но, под тем же уг­лом    (рис. 8, а).

Разделим те­перь написан­ные выра­же­ния на  интервал  и уст­ремим его к нулю (зафиксировав момент t1). При этом и , так что

*) (10)

Для отыскания последнего предела учтем, что при неограничен­ном уменьшении угла длины отрезков M1O и M2O (рис. 8, а) будут, сближаясь, стремиться к некоторому значению R, которое называется радиусом кривизны траектории в точке М1. В пределе бесконечно малый участок кривой М1М2 сольется с дугой окружности радиусом R и, следовательно, длина этого участка может быть выражена формулой s R . Одновременно скорость v2 будет тоже неограниченно при­ближаться к v1, т.е.

.

Таким образом,

.               (11)

Итак, при движении точки по произвольной кривой ее ускоре­ние всегда может быть представлено в виде суммы двух составляющих тангенциальной и нормальной:

.                                                                        (12)

Первая направлена по касательной к траектории и по вели­чине опре­­деляется производной модуля скорости по времени (если скорость убывает, то dv/dt<0 и тангенциальное ускорение направлено на­встречу скорости). Вторая ориентирована перпендикулярно к траекто­рии в направлении ее загиба (в сторону вогнутости) и зависит от ве­личины скорости и радиуса кривизны траектории. Чем больше скорость точки и кривизна ее траектории, тем, очевидно, быстрее меняется скорость по направлению и, следовательно, больше нормальное уско­рение.

Замечание. В проведенном анализе мы неявно предполагали, что рассматриваемый участок траектории является плоским, т.е. цели­ком лежит в плоскости рисунка. Возникает вопрос, а не будет ли в общем случае пространственной кривой (например, винтовой линии) ускорение содержать еще одну составляющую, перпендикулярную плоскости (n, ). Нетрудно понять, однако, что такой составляющей не будет. Надо только из всех плоскостей, проходящих через касатель­ную к кривой в данной точке, выбрать ту, в которой лежит бесконеч­но малый элемент этой кривой. Для этого достаточно провести плос­кость через три бесконечно близкие точки траектории. В ней рассмат­риваемый участок можно считать плоским, и наш анализ остается в силе (так происходит потому, что все его результаты получены путем предельного перехода при стягивании отрезка кривой к точке). Таким образом, проведенное рассмотрение оказывается справедливым в са­мом общем случае.

Пример 1. Прямолинейное движение точки. Радиус кривизны прямолинейной траектории , а потому нормальное ускорение здесь отсутствует. Тангенциальное же, вообще говоря, отлично от нуля и в зависимости от того, увеличивается или уменьшается скорость по модулю, направлено вдоль скорости движения тела или навстречу ей. Если ускорение постоянно, то говорят, что точка движется равноуско­ренно. Найдем для этого случая вектор мгновенной скорости v(t) и закон движения точки.

Направим одну из осей системы координат (например x) вдоль траектории; тогда движения вдоль других происходить не будет, т.е.

ay=az=0, vy=vz=0, y=z=0.

Пусть ускорение вдоль x равно ax=const. Поскольку ускорение есть производная скорости по времени: , для отыскания скорости нужно найти такую функцию времени, производная которой посто­янна. Это, очевидно, линейная функция

,  

где С некая константа (при любом значении С ). Смысл ее может быть найден, если положить t=0: vx(0)=С. Таким образом,

,                                                                           (13)

где v0x=vx(0) начальная скорость точки. Итак, вектор мгновенной скорости v(t) направлен вдоль (или навстречу) оси x, и проекция его на эту ось линейно меняется со временем.

Для получения закона движения x(t) вспомним, что найденная нами скорость, в свою очередь, является производной координаты по времени. Однако теперь эта производная уже не постоянна, а линей­но зависит от времени. Тем не менее и здесь нетрудно подобрать функцию, имеющую заданную производную: константа в (13) дает линейный член по t, а линейная составляющая квадратичный. Кроме того, появится еще произвольная постоянная D, которая при дифференцировании исчезнет. Стало быть,

.

Полагая, как и выше, t=0, находим смысл константы D: x(0)=D. Окончательно

,                                                            (14)

где x0  начальная координата точки. Закон ее движения вдоль оси x квадратичная функция времени.

Пример 2. Тело брошено под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью v0 (рис. 9). Пренебрегая сопротивлением возду­ха, найти радиус кривизны R его траектории в верхней точке.

Расположим оси координат, как показано на рис. 9, и разложим скорость на две составляющие: гори­зонтальную и вертикальную. Далее во­спользуемся известным из динамики фактом, что движение вблизи повер­хности Земли происходит с постоян­ным ускорением g, направленным вер­тикально вниз. Это значит, что гори­зонтальная проекция скорости сохра­няется, а вертикальная меняется в со­ответствии с (13) по линейному закону. В верхней точке vy=0, vx=v0cos и вектор скорости горизонтален. Следовательно, ускорение g в этой точке перпендикулярно траектории и, таким образом, явля­ется нормальным ускорением. Из (11) ,  откуда  .

§ 1.4. Теорема о сложении скоростей

Как уже отмечалось, одно и то же движение в различных си­стемах отсчета может выглядеть совершенно по-разному. Для описа­ния движения часто необходимо бывает знать, как при переходе из одной системы в другую меняется мгновенная скорость точки. Правило это и представляет собой со­держание так называемой теоремы о сложении скоростей.

Итак, рассмотрим две системы отсчета P и Q, произвольно дви­жущиеся относительно друг друга. Примем условно одну из них, на­пример P, за неподвижную и назовем лабораторной системой, а дру­гую Q, будем считать движущейся. Пусть в подвижной системе точка имеет некую мгновенную скорость, которую назовем относи­тельной скоростью и обозначим как vотн. Чему будет равна ее скорость в лабораторной системе (так называемая абсолютная скорость) vабс, если известно, как движется в данный момент подвижная система от­носительно неподвижной?

Для ответа на этот вопрос нарисуем два положения 1 и 2 си­с­темы Q и точки в ней, разделенные малым интервалом времени t (рис. 10; чтобы не загромождать рисунок, на нем изображено лишь тело отсчета системы Q). Здесь AB= rотн  вектор относительного перемещения точки за время t в системе Q. АA перемещение той точки подвижной сис­те­мы (относительно лабораторной), с которой совпадает в данный мо­мент движущаяся точка; оно называется переносным перемещением и обозначается как rпер. И наконец,     АB = rабс абсолютное пере­ме­ще­ние точки в системе Р. Из рис. 10, очевидно, rабс= rпер+А B . Раз­­делим теперь это соотношение на t и перейдем к пределу при  . При этом по определению скорости

,                                     (15)

где vпер  так называемая переносная скорость. Что же касается пе­ремещения А B , то нетрудно видеть, что при безграничном уменьше­нии t положение 2 системы Q сколь угодно близко подходит к по­ложению 1, а потому вектор А B (уменьшаясь по величине) стре­мится совпасть с вектором АВ= rотн. Стало быть,

,                             (16)

и, следовательно,

vабс=vпер+vотн.                                                                               (17)

Это и есть содержание теоремы о сложении скоростей: абсо­лютная скорость точки равна векторной сумме ее переносной и отно­сительной скоростей.

Отметим, что приведенный вывод теоремы справедлив в самом общем случае произвольного движения подвижной системы, включая и ее вращение. При этом различные точки Q будут иметь разные ско­рости. В (17) же входит скорость  vпер вполне определенной точки этой системы, а именно той, с которой совпадает в данный момент движущаяся частица.

Пример. С какой минимальной скоростью u должен двигаться автомобиль под дождем,  чтобы  его  заднее  стекло оставалось сухим? Скорость капель дождя вертикальна и равна v, стекло наклонено к вертикали под углом (рис. 11).

Найдем скорость капель дождя в движущейся системе ко­ординат, связанной с автомо­билем. В соответствии с нашими опреде­лениями v абсолют­ная, а u переносная скорости капель. Из (17) их скорость относительно автомобиля

vотн= vабс-vпер= v - u = v ­+(- u).

Таким образом, в системе, связанной с движущимся автомобилем, дождь окажется уже косым (см. рис.11), причем угол наклона vотн к вертикали тем больше, чем выше скорость автомобиля. Чтобы заднее стекло оставалось сухим, этот угол должен быть, очевидно, не меньше . Отсюда получаем величину минимальной скорости автомобиля u=vtg .

Замечание 1. Напомним еще раз, что мы рассматриваем нере­лятивистские, т.е. далекие от световых, скорости. В общем случае про­извольных скоростей формулы их преобразования из одной системы в другую заметно усложняются. Из этих формул, в частности, следует,  что если vотн=c и vпер=c, где с скорость света, то vабс равна не 2с, как это получалось бы в ньютоновой механике по формуле (17), а тоже с. Движение со скоростями, большими скорости света, невоз­можно. При vотн, vпер<<c релятивистский закон сложения скоростей, естественно, переходит в (17).

Замечание 2. Наряду с вопросами преобразования скоростей встают аналогичные вопросы с трансформацией ускорений. Будет ли абсолютное ускорение равно сумме относительного и переносного? Да, показывают расчеты, но только при условии, что движущаяся си­стема не вращается.

При наличии вращения формула для ускорений, аналогичная (17), перестает быть справедливой: в ее правой части появляется еще одно слагаемое так называемое кориолисово ускорение, пропорци­ональное угловой скорости вращения подвижной системы.