Динамикой называется раздел механики, изучающий движение тел совместно с причинами, придающими ему тот или иной характер. Основу динамики составляют три закона Ньютона.

ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

В кинематике все системы отсчета равноправны и выбор какой-нибудь из них диктуется соображениями удобства при решении рассматриваемой задачи. В динамике же, как показывает опыт, сами законы, управляющие движением, меняются при переходе из одной системы отсчета в другую. Естественно попытаться выбрать такую из них, в которой эти законы выглядят наиболее просто. Оказывается, что такая система существует, причем не одна, а бесчисленное множество. Называются они инерциальными, а выделить их можно с помощью I закона Ньютона, или закона инерции.

§ 2.1. Закон инерции

Опыт дает, что существуют системы отсчета (называемые инерциальными), в которых любое тело, свободное от действия других тел, покоится или движется равномерно и прямолинейно. В чем состоит основное содержание этого закона? Ведь если существует свободное тело, то, очевидно, всегда можно выбрать и систему отсчета, в которой это тело покоится или движется равномерно и прямолинейно. Однако закон утверждает, что в этой системе любое другое свободное тело должно вести себя точно так же. Далее, с точки зрения этого закона состояние покоя и равномерного прямолинейного движения являются абсолютно равноправными и "естественными", не требующими никакой причины, никакого объяснения. Объяснения требуют как раз изменения этих состояний. И наконец, из него следует также, что любая система отсчета, движущаяся поступательно (т.е. без вращения), равномерно и прямолинейно относительно инерциальной, тоже является инерциальной.

Итак, I закон Ньютона вводит понятие инерциальной системы отсчета и утверждает, что такие системы отсчета существуют. Как же на практике убедиться в их существовании? Для этого достаточно, в принципе, взять два (не меньше!) изолированных тела и, связав с одним из них систему координат, проследить за движением другого в этой системе*). Если оно равномерное и прямолинейное значит, закон инерции справедлив, если нет то он не выполняется**).

Рецепт для выбора инерциальной системы достаточно прост, но реализация его может встретиться с трудностями не только практического, но и логического характера. Как убедиться, что тела-индикаторы инерциальной системы свободны от внешних воздействий? Понятно, все "контактные" взаимодействия с ними надо убрать, но могут остаться влияния внешних объектов посредством всяких "невидимых" полей (например, гравитационного, электрического и т.п.). Как избавиться и от них? Поскольку интенсивность всех известных в физике взаимодействий спадает с расстоянием, нужно удалить наши тела друг от друга и от всех других достаточно далеко. Однако в земных условиях невозможно избавиться от земного притяжения и, таким образом, получить изолированное тело. Поэтому система отсчета, связанная с любым телом на Земле, нашей процедуре выбора инерциальной системы удовлетворять не будет. Требуются несравненно большие расстояния, на которые нужно раздвинуть тела, чтобы их можно было считать невзаимодействующими. Такими расстояниями предстают перед нами астрономические дистанции, а изолированными объектами звезды и планеты. Чем дальше удалена звезда от ближайших небесных тел, тем с лучшим приближением ее можно считать свободным телом, а связанную с ней систему отсчета инерциальной. Связав систему отсчета с одной или несколькими такими звездами и проследив за движением в ней других изолированных небесных тел, можно с определенной степенью точности (ибо абсолютно изолированных объектов в природе не существует) убедиться в справедливости закона инерции.

А существует ли возможность проверить I закон Ньютона, не выходя за пределы нашей планеты и не прибегая к космическим наблюдениям? Смогли бы люди его установить, если бы, например, Земля была окружена непрозрачным туманом? Да, косвенным путем. Ведь закон этот выделяет системы отсчета, где выполняются все остальные законы механики, и если он неверен, то неверными окажутся и они. Наблюдая отклонения движения тел в какой-либо системе отсчета от предписанного законами Ньютона, можно судить о степени ее неинерциальности. Та система, в которой эти отклонения пренебрежимо малы, и есть инерциальная. Такой косвенный путь проверки закона инерции ничуть не хуже непосредственного. Более того, именно он лежит в основе наиболее убедительного доказательства существования инерциальных систем, ибо справедливость законов механики (и первого в том числе) подтверждается не столько опытами и наблюдениями, проведенными при их открытии, сколько согласием с экспериментом огромного числа расчетов и предсказаний, выполненных на их основе.

§ 2.2. Сила. II закон Ньютона

1. Понятие силы. В инерциальных системах отсчета нарушить "естественное" состояние покоя или равномерного прямолинейного движения может только взаимодействие с другими телами. Для количественной характеристики этого взаимодействия вводят особую величину силу. Если скорость тела меняется, то говорят, что на него действует сила. Значит, появление ускорения это результат действия силы. А как же возникает сама сила? Каким образом тела оказывают влияние друг на друга?

Причины появления силы могут быть различными. Например, если по проводящему телу пустить электрический ток, то оно начинает взаимодействовать с другим проводящим телом, по которому тоже течет ток: появляется, как говорят, магнитная сила. Это значит, что если данные тела не подвержены действию других объектов, то они приобретают ускорения. Можно зарядить тела тогда возникает электрическая сила и т.д. В зависимости от свойств и состояния исследуемого объекта между ним и окружающими телами могут возбуждаться силы разного рода и свойств. Физика классифицирует эти силы, объединяя их по характерным признакам и относя к силам определенной природы, или определенного типа. Однако все силы в механике независимо от своей природы имеют одно общее проявление, которое и кладется в основу их определения: действуя на любой изолированный объект, они вызывают его ускорение.

Как же количественно охарактеризовать силу? Каковы основные ее свойства?

Для количественного описания силы необходимо выбрать какую-либо процедуру, вызывающую ее появление. Затем зафиксировать условия проведения этой процедуры и таким образом эталонизировать силу. Далее нужно договориться о способах сравнения измерения сил. И уже потом исследовать их свойства. Процедуру, вызывающую появление силы, желательно, конечно, выбрать попроще. Одной из наиболее простых таких процедур является небольшое смещение частей твердого тела относительно друг друга, называемое упругой деформацией*). Его-то мы и положим в основу количественной характеристики силы**).

1. Возьмем эталонную пружину и сожмем на фиксированную величину

. Будем говорить, что пружина (в какой-либо инерциальной системе отсчета) действует на прижатое к ее концу тело (материальную точку) с некоторой эталонной силой F0, направленной вдоль оси пружины в сторону, противоположную направлению деформации (рис. 1).

2. Будем считать, что если под действием эталонной (и не только эталонной, но и любой) силы материальная точка покоится или движется равномерно и прямолинейно, то на нее действует еще одна сила, равная по величине и противоположная по направлению. Это утверждение позволяет воспроизводить эталонную силу в неограниченном числе экземпляров, а также служит критерием равенства сил.

3. Будем считать, что две эталонные (и не только эталонные, но и любые) параллельные силы эквивалентны***) одной силе, которая равна их сумме и имеет то же направление (рис. 2). Это определение позволяет ввести в рассмотрение произвольную силу, равную целому числу эталонных сил. Если выбрать эталон достаточно малым по величине, то с наперед заданной точностью можно воспроизвести (и измерить) любую силу вообще.

Этими определениями исчерпывается количественная характеристика силы, однако исследование ее влияния на движение материальной точки сильно осложняется тем обстоятельством, что практически всегда такая точка взаимодействует сразу со многими окружающими объектами (абсолютно изолированных тел в природе вообще не существует), т.е. подвержена одновременному действию многих сил. Нельзя ли свести их к меньшему числу или даже одной силе? Другими словами, если материальная точка под влиянием нескольких сил вышла из состояния покоя или равномерного прямолинейного движения, то может ли она быть снова в него приведена дополнительным воздействием всего лишь одной силы? Да, говорит эксперимент, это всегда возможно. Мы сформулируем это в виде следующего утверждения (проверяемого только опытным путем), которое назовем основным свойством силы: система двух сил, действующих на материальную точку, эквивалентна одной силе, называемой их результирующей или равнодействующей, которая строится по правилу параллелограмма (рис.3). Таким образом, результирующая является векторной суммой действующих сил, т.е. силы складываются, как векторы.

2. II закон Ньютона. Описав, что такое сила, можно теперь экспериментально ответить на вопрос, как ее воздействие будет изменять скорость движения материальной точки. Оказывается и в этом состоит основное содержание II закона Ньютона, что определенная нами сила меняет скорость достаточно просто: приращение скорости в единицу времени (т.е. ускорение а точки ) пропорционально действующей силе, причем закон этот носит векторный характер:

Однако, как показывает опыт, ускорение однозначно силой не определяется: оно зависит еще от свойств самого тела (материальной точки), называемых инертностью. Чем инертнее тело, тем труднее изменить его скорость. Количественно инертность выражается числом (скаляром), приписываемым каждому телу и называемым инертной массой (или просто массой ) m. Этот параметр является коэффициентом пропорциональности в соотношении (1), который принято писать в знаменателе:

Векторное уравнение (2) можно записать в проекциях на оси координат в виде трех соотношений, называемых уравнениями движения:

Из этих уравнений следует, что движение вдоль каждой из осей, например х, определяется лишь проекцией силы на эту ось. Если эта проекция не зависит от остальных координат и скоростей точки (т.е. y и z, vy и vz), то движение вдоль выбранной оси оказывается никак не связанным с движением вдоль остальных осей. В общем же случае сила F является функцией всех трех координат точки, их производных и еще времени t и уравнения (3) могут быть весьма сложными. В математике такие уравнения называются дифференциальными уравнениями второго порядка. Если их решить, то получатся не три (или больше) числа, как, например, при решении алгебраических уравнений, а три функции: x(t), y(t), z(t) закон движения точки. Можно показать, что при решении дифференциальных уравнений функции, удовлетворяющие им, определяются всегда неоднозначно (дифференциальное уравнение, в принципе, однозначно задать функцию не может). В частности, уравнения второго порядка определяют искомые функции с точностью до двух произвольных постоянных. Постоянные эти находятся не из уравнений, а из дополнительных условий, которые нужно наложить на эти функции и которых тоже должно быть два для каждой из них. Обычно (но не всегда) это координаты х, y, z и скорости vx, vy, vz, задаваемые в какой-то определенный момент времени (так называемые начальные условия).

Пример. Найти закон движения точки в однородном поле тяжести.

Направим ось y декартовой координатной системы вертикально вверх, а оси x и z горизонтально. Тогда уравнения движения (3) точки примут вид

где знак минус соответствует противоположным направлениям оси y и силы mg. Уравнения "развязались", ибо вертикальная сила mg не зависит от горизонтальных координат х и z и скоростей vx и vz. Это значит, что движение вдоль каждой из осей происходит независимо от движения вдоль других. Для х и z направлений, ускорение вдоль которых равно нулю, получается равномерное движение, для y направления равноускоренное:

Константы x0, y0, z0, v0x, v0y, v0z представляют собой начальные (т.е. в момент времени t=0) координаты и скорости точки вдоль соответствующих осей. Их можно задать любыми, при этом функции (5) все равно будут удовлетворять уравнениям (4).

Если к силе тяжести добавить силу сопротивления воздуха, пропорциональную (при медленном полете) скорости движения тела и направленную навстречу ей,

(h=const), то уравнения усложнятся, однако по-прежнему останутся независимыми:

Независимым будет и движение точки вдоль каждой из осей. Если подвергнуть наше тело еще и влиянию неравномерного ветра, скорость которого меняется от точки к точке, то уравнения "зацепятся" и задача еще более усложнится, и т.д.

Вернемся теперь к обсуждению II закона Ньютона. Итак, он говорит о пропорциональности ускорения действующей силе и вводит понятие инертной массы как коэффициента этой пропорциональнос-ти. Из опыта известно основное свойство массы аддитивность. Это значит, что масса "суммы тел" равна сумме их масс.

II закон Ньютона можно записать в несколько иной форме, если воспользоваться понятием импульса. Импульсом или количеством движения p материальной точки называется произведение ее массы на скорость:

Умножив уравнение (2) на m и учитывая, что

, получим

Произведение Fdt называется импульсом силы F за элементарный промежуток времени dt. В такой форме II закон Ньютона гласит: изменение импульса точки в течение малого интервала dt равно импульсу силы за этот интервал.

В рамках нашего рассмотрения обе формулировки закона абсолютно эквивалентны друг другу. Однако при переходе к скоростям, близким к скорости света, эквивалентность эта нарушается и правильным оказывается лишь выражение (10). При этом понятие импульса точки усложняется: он уже не определяется формулой (8), а начинает более сложно зависеть от скорости. При дальнейшем рассмотрении механики, как уже отмечалось, мы ограничимся случаем малых скоростей.

Во II законе Ньютона присутствуют две динамические характеристики сила и масса, и для их измерения какая-либо из этих величин должна быть эталонизирована. В системе СИ вводится эталон массы платино-иридиевый образец (хранимый в Палате мер и весов), масса которого принимается равной единице массы (она называется килограммом). Единица силы определяется из II закона: сила равна единице силы, если единичной массе (эталону) она сообщает единичное ускорение. В СИ единицей силы является ньютон:

§ 2.3. III закон Ньютона

Этот закон утверждает, что любое влияние тел друг на друга всегда является взаимным: если тело (материальная точка) 1 дейст- вует на тело 2 с силой F21, то тело 2 обязательно тоже действует на тело 1 с силой F12 (рис. 4), причем силы F12 и F21:

5) являются силами одной природы (одного типа).

Пример. На столе лежит книга. Указать силы, действующие на нее, и найти противодействующие им по III закону Ньютона.

На книгу действуют две силы: вниз сила тяжести со стороны Земли G и вверх сила реакции стола N (рис. 5). Это силы разной природы (первая гравитационная, вторая упругости). Каждой из них есть противодействующая: первой гравитационная сила, приложенная к центру Земли вверх (с какой силой Земля притягивает книгу, с такой силой и книга притягивает Землю), второй упругая сила давления книги на стол, направленная вниз.

III закон Ньютона утверждает, что равенство (11) имеет место в любой момент времени. Значит, если взаимодействующие объекты разделены некоторым расстоянием и один из них сдвинуть, то второй должен сразу это почувствовать. Стало быть, закон предполагает мгновенное распространение взаимодействий, что, строго говоря, неверно: существует некоторая предельная скорость передачи взаимодействий. Таким образом, равенство (11) оказывается приближенным, справедливым с точностью до некоторого запаздывания, необходимого для передачи информации об изменениях с одним из взаимодействующих тел другому. Однако в нашем рассмотрении мы будем пренебрегать этим запаздыванием (всегда очень малым) и потому считать III закон справедливым с весьма высокой точностью.

Законы Ньютона были сформулированы нами для тел пренебрежимо малых размеров, т.е. материальных точек, однако они позволяют, в принципе, рассчитывать движение и протяженных объектов. Ведь каждый из таких объектов можно представить состоящим из большого числа материальных точек, взаимодействующих и друг с другом, и с остальными телами. К каждой из этих точек уже могут быть непосредственно применены законы Ньютона. Пример подобного подхода мы увидим в следующем параграфе.

Законы Ньютона (вместе с определением и основным свойством силы) представляют собой систему аксиом, служащих фундаментом всей классической механики. Аксиомы эти являются гениальным обобщением данных опыта и отражают "внутреннюю структуру" мира, в котором мы живем. Уж так устроен окружающий нас мир, что в нем справедливы законы Ньютона!

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Мы рассмотрим два основных закона сохранения импульса и механической энергии. Мы теоретически докажем их справедливость, ибо в рамках нашего рассмотрения они являются следствиями законов Ньютона.

§ 2.4. Закон сохранения импульса

Рассмотрим систему материальных точек m1, m2,...,mn, которые подвержены действию как внутренних, так и внешних сил (рис. 6).

Внутренние силы fij действуют со стороны частиц, входящих в нашу систему, внешние Fi со стороны тел, не входящих в нее. Запишем II закон Ньютона в форме (9) для каждой точки:

Сложим эти уравнения. При этом все внутренние силы в правой части полученного равенства взаимно попарно уничтожатся, ибо любой из них найдется в соответствии с III законом Ньютона равная и противоположная:

В итоге получим (производная суммы равна сумме производных)

Это уравнение в компактной форме принято записывать следующим образом:

Здесь индекс i, стоящий у величины под знаком суммы , пробегает значения от 1 до n.

Назовем импульсом или количеством движения P системы (геометрическую) сумму импульсов отдельных ее точек:

а через F обозначим сумму внешних сил:

. Тогда соотношение (14) примет вид

т.е. производная импульса системы по времени равна (геометрической) сумме внешних сил, приложенных к системе.

Следует иметь в виду, что в правой части (16) стоит, как это непосредственно явствует из приведенного вывода, именно геометрическая сумма, но не равнодействующая всех приложенных сил. Не всякая система сил Fi, вообще говоря, произвольно ориентированных в пространстве и приложенных к различным точкам системы, имеет равнодействующую, но геометрическую сумму этих сил (приведя их к общему началу и воспользовавшись правилом параллелограмма) можно построить всегда.

В проекциях на оси координат выражение (16) запишется в виде

Если сумма внешних сил равна нулю (или они вообще отсутствуют), то из (16) получаем

т.е. импульс системы сохраняется. Это утверждение носит название закона сохранения импульса.

Системы, для которых внешние силы отсутствуют, называются замкнутыми. В них импульс сохраняется. Если равна нулю только проекция силы на какую-либо из осей, то, как следует из (17), сохраняется и проекция импульса на эту ось.

Равенство (16) можно, конечно, записать в несколько иной форме, аналогично тому, как мы сделали это с уравнением (9):

В этой форме оно говорит, что изменение импульса системы за элементарный промежуток времени равно импульсу суммы всех внешних сил за этот промежуток.

Пример 1. Найти импульс Р однородного диска, вращающегося вокруг своей оси (рис.7).

По определению Р это геометрическая сумма импульсов всех маленьких участков, на которые может быть разбит этот диск. Поскольку каждый из них движется (за исключением находящихся на оси), он обладает вполне определенным импульсом, отличным от нуля. Однако любому такому участку найдется симметричный относительно оси вращения, равный по массе и движущийся с такой же скоростью, но в противоположном направлении. Очевидно, что сумма импульсов этих участков равна нулю. Разбивая весь диск на такие пары элементов и суммируя по всем парам, убеждаемся, что полный импульс системы тоже равен нулю.

Пример 2. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью v, попадает в брусок массой М, неподвижно лежащий на горизонтальной плоскости (рис. 8). В каком случае брусок приобретет большую скорость: когда пуля застрянет в нем или когда пробьет его насквозь?

Рассмотрим внешние силы, действующие на нашу систему. Это, во-первых, силы тяжести, приложенные со стороны Земли к пуле и бруску, и, во-вторых, сила реакции плоскости, действующая на брусок.

Предположим сначала, что трения нет. Тогда все эти силы вертикальны и проекция их геометрической суммы на любое горизонтальное направление равна нулю. Значит, горизонтальная составляющая импульса системы должна сохраняться. Выберем ось х направленной вдоль скорости пули v и свяжем законом сохранения импульса в проекции на эту ось два состояния системы: до попадания пули и сразу после ее остановки в бруске или вылета из него. В первом случае имеем

где ux х-проекция скорости бруска. Во втором случае

где

х-проекции скорости бруска и пули после ее вылета. Таким образом, один и тот же начальный импульс распределяется между пулей и бруском по-разному: в первом случае пуля "забирает" малую его долю (ибо движется медленно вместе с бруском), во втором большую (

). Стало быть, во втором случае бруску остается меньший импульс и его скорость оказывается меньше.

Пусть теперь между бруском и плоскостью действуют силы трения. Тогда горизонтальная составляющая импульса системы уже не будет сохраняться: она изменится на величину импульса силы трения за время "удара" dt. В этом случае вместо (21) в соответствии с (20) получим

где Fтрx х-проекция силы трения. Если, однако, время dt взаимодействия очень мало, то импульсом силы трения можно пренебречь по сравнению с любым слагаемым левой части уравнения (23)*) и оно тогда перейдет в (21). То же можно сказать и о второй ситуации, когда пуля пробивает брусок.

§ 2.5. Теорема о движении центра масс

Соотношение (16) очень похоже на уравнение движения материальной точки. Попробуем привести его к еще более простому виду F=ma. Для этого преобразуем левую часть, воспользовавшись свойствами операции дифференцирования (y+z) =y +z , (ay) =ay , a=const:

Домножим и разделим (24) на массу всей системы

и подставим в уравнение (16):

Выражение, стоящее в скобках, имеет размерность длины и определяет радиус-вектор некоторой точки, которая называется центром масс системы:

Если (26) подставить в (25), то получим теорему о движении центра масс:

т.е. центр масс системы движется, как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы, под действием суммы внешних сил, приложенных к системе. Теорема о движении центра масс утверждает, что какими бы сложными ни были силы взаимодействия частиц системы друг с другом и с внешними телами и как бы сложно эти частицы ни двигались, всегда можно найти точку (центр масс), движение которой описывается просто. Центр масс некая геометрическая точка, положение которой определяется распределением масс в системе и которая может не совпадать ни с одной из ее материальных частиц.

Произведение массы системы на скорость vц.м ее центра масс, как это следует из его определения (26), равно импульсу системы:

В частности, если сумма внешних сил равна нулю, то центр масс движется равномерно и прямолинейно или покоится.

Пример 1. В некоторой точке траектории снаряд разрывается на множество осколков (рис. 9). Как будет двигаться их центр масс?

Центр масс "полетит" по той же параболической траектории, по которой двигался бы неразорвавшийся снаряд: его ускорение в соответствии с (28) определяется суммой всех сил тяжести, приложенных к осколкам, и общей их массой, т.е. тем же уравнением, что и движение целого снаряда. Однако, как только первый осколок ударится о Землю, к внешним силам силам тяжести добавится сила реакции Земли и движение центра масс исказится.

Пример 2. На покоящееся тело начинает действовать "пара" сил F и F (рис. 10). Как будет двигаться тело?

Поскольку геометрическая сумма внешних сил равна нулю, ускорение центра масс также равно нулю и он останется в покое. Тело будет вращаться вокруг неподвижного центра масс.

Есть ли какие-либо преимущества у закона сохранения импульса перед законами Ньютона? В чем сила этого закона?

Главное его достоинство в том, что он носит интегральный характер, т.е. связывает характеристики системы (ее импульс) в двух состояниях, разделенных конечным промежутком времени. Это позволяет получить важные сведения сразу о конечном состоянии системы, минуя рассмотрение всех промежуточных ее состояний и деталей происходящих при этом взаимодействий.

Наряду с временной характеристикой силы — ее импульсом, вводят пространственную, называемую работой. Как всякий вектор, сила в общем случае характеризуется величиной, направлением и точкой приложения. Если эта точка совершает малое перемещение dr, то говорят, что сила при этом совершает (тоже малую, или элементарную) работу dА, равную скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

Напомним, что скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Поскольку произведение

есть проекция вектора на направление

, скалярное произведение можно записать следующим образом:

Перечислим кратко основные свойства скалярного произведения:

Свойства 1 и 2 следуют непосредственно из определения, свойства 3 и 4 — из соотношения (3), а также того обстоятельства, что проекция суммы векторов равна сумме их проекций.

Перемещение dr в (1) должно быть настолько малым, чтобы на всем его протяжении сила F не менялась заметно ни по величине, ни по направлению.

Если точка приложения силы совершает конечное перемещение, то нужно разбить траекторию ее движения на малые отрезки

(рис. 1) и вычислить элементарную работу на каждом из них. Работой силы вдоль всей траектории 1—2 называется сумма элементарных работ на всех ее участках:

При действии нескольких сил, имеющих общую точку приложения, работа их равнодействующей при каком-либо перемещении (элементарном или конечном) этой точки равна сумме работ каждой силы на этом перемещении. Это легко понять, если воспользоваться определением скалярного произведения в форме (3) и учесть, что проекция суммы сил равна сумме их проекций.

Кинетической энергией w движущейся материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения ее массы m на квадрат скорости v:

Кинетической энергией системы материальных точек называется сумма кинетических энергий всех этих точек:

При действии силы на движущуюся точку величина ее скорости, а следовательно, и кинетическая энергия, вообще говоря, будут меняться. При этом сила, поскольку точка ее приложения перемещается, будет совершать определенную работу. Покажем, что эта работа равна как раз изменению кинетической энергии движущейся точки. Для этого рассмотрим производную по времени от кинетической энергии и воспользуемся основными свойствами скалярного произведения:

Величина (F, v) — скалярное произведение силы на скорость точки ее приложения — называется (мгновенной) мощностью. Соотношение (7) показывает, что производная по времени от кинетической энергии равна мгновенной мощности.

т. е. изменение кинетической энергии точки за малый промежуток времени равно элементарной работе силы.

Если точка совершает конечное перемещение (см. рис. 1) за конечный интервал времени, то его можно разбить на малые отрезки, на каждом из которых выполняется равенство (8). Складывая изменения

на всех участках, найдем полное изменение кинетической энергии точки, а суммируя элементарные работы, получим полную работу вдоль всей траектории:

Соотношение (9) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечной (интегральной) форме: изменение кинетической энергии точки при ее перемещении вдоль некоторой траектории равно работе силы вдоль этой траектории. Отсюда становится понятным, почему кинетической энергией называется именно величина

: выбирается такая комбинация характеристик движущейся точки, изменение которой равно как раз работе силы.

Единицей работы (а следовательно, и кинетической энергии) в системе СИ является джоуль (1 Дж = 1 Н м), а мощности — ватт (1 Вт = 1 Дж/с).

§ 2.7. Консервативные силы. Потенциальная энергия

Работа силы вдоль какой-либо траектории, как это следует из ее определения (4), зависит, вообще говоря, от длины этой траектории, ее формы и значения вектора F в каждой ее точке (мы рассматриваем стационарные, т. е. не зависящие от времени, силы). Однако существует целый класс сил, работа которых не зависит от формы траектории, соединяющей любые две точки, а определяется только их положением. Конечно, при переходе от траектории М к траектории N (рис. 2) и элементарные перемещения

, и силы

, действующие на них, изменятся, но суммы вида (4), т. е. работы для обеих траекторий, останутся неизменными. Такие силы называются консервативными (или потенциальными); их примерами в механике являются силы гравитации и упругости*). Примером непотенциальной силы является сила трения.

Итак, силы называются консервативными, если для любых двух точек 1 и 2 и любых траекторий М и N

Поскольку A_1N2= -A_2N1, определение консервативных сил может быть записано несколько иначе: их работа вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

Свойство потенциальности силы сильно упрощает вычисление ее работы: вместо заданной траектории можно выбрать более удобную (проходящую через те же начальную и конечную точки) и считать работу на ней. Более того, для каждой пары точек можно один раз вычислить эту работу и приписать ее значение этой паре. Введенная таким образом функция (пар точек) позволяет сразу получить работу консервативной силы при перемещении из одной точки в другую по любой траектории. Можно еще более упростить вычисление этой работы, если одну из точек каждой пары фиксировать и выбрать в качестве "нулевой".

Итак, рассмотрим какую-либо область пространства, в каждой точке которой действуют потенциальные силы. Примем одну из этих точек за начало отсчета и назовем "нулевой". Работа силы по перемещению из произвольной точки 1 в произвольную точку 2 (рис.3) по любой траектории (1М2) будет равна работе вдоль траектории (102), проходящей через нулевую точку. Эта работа складывается, в свою очередь, из работ вдоль 10 и 02:

т. е. работа

вдоль произвольной траектории может быть представлена в виде разности двух однотипных слагаемых

, которые могут рассматриваться как значения некоторой функции точки. Функция эта представляет собой работу, совершенную консервативной силой при перемещении из данной точки i в нулевую, и называется потенциальной энергией материальной частицы в данной точке:

Таким образом, потенциальный характер действующих сил позволяет ввести в рассмотрение некую скалярную функцию точки (называемую потенциальной энергией), разность значений которой для двух любых точек 1 и 2 дает работу по перемещению из 1 в 2:

Выбор начала отсчета потенциальной энергии, влияя на ее значения в каждой точке пространства, никак не скажется на соотношении (15) и потому является до известной степени произвольным.

Пример. Найти потенциальную энергию материальной точки, расположенной вблизи поверхности Земли (т. е. в области, где поле тяжести однородно).

Для решения задачи нужно выбрать две произвольные точки 1 и 2 (рис.4) и посчитать работу, совершенную силой тяжести при перемещении рассматриваемой частицы из 1 в 2. Поскольку работа эта от формы траектории, соединяющей начальную и конечную точки, не зависит, выберем наиболее удобную кривую, состоящую из горизонтального 1N и вертикального N2 прямолинейных отрезков. На первом из них работа не совершается (ибо сила перпендикулярна перемещению), а на втором, очевидно, равна

где знак минус соответствует противоположным направлениям силы mg и перемещения

из N в 2. Этой работе и будет по определению равна разность потенциальных энергий в первой и второй точках:

Таким образом, с точностью до некоторой константы С

т. е. искомая функция оказалась зависящей лишь от одной координаты (высоты подъема). Значение постоянной С определяется уровнем, относительно которого отсчитывается высота, и является совершенно произвольным.

Если в области, где действуют внешние стационарные консервативные силы, находится система n невзаимодействующих материальных точек, то потенциальной энергией

этой системы называется сумма потенциальных энергий всех ее точек:

Если внешних сил нет, но эти точки взаимодействуют друг с другом (силами гравитации или упругости), то процедура введения потенциальной энергии усложняется. Каждая точка уже не будет двигаться в стационарном внешнем поле сил: это поле будет меняться при движении остальных точек системы. Тем не менее, и в этом случае можно говорить о потенциальной энергии системы. Это работа, совершенная силами взаимодействия при переходе системы из данного состояния (характеризующегося определенным взаимным расположением частиц) в "нулевое", потенциальная энергия которого принята равной нулю. Можно показать*), что работа эта не зависит (если силами взаимодействия являются силы гравитации или упругости) от тех траекторий, по которым двигались материальные точки при переходе системы из одного состояния в другое, а определяется лишь начальной и конечной конфигурациями системы. Обычно (но не всегда) за нулевую точку выбирают такое состояние системы, при котором все ее частицы удалены друг от друга на бесконечность.

§ 2.8. Закон сохранения механической энергии

Рассмотрим систему материальных точек, которые взаимодействуют как друг с другом, так и с внешними телами. Силы, действующие на каждую точку, разобьем на три группы:

Пусть за конечный ( или элементарный) промежуток времени система перешла из состояния 1 в состояние 2. При этом каждая ее точка совершила определенное перемещение, двигаясь под действием перечисленных выше сил. По теореме об изменении кинетической энергии точки

где правая часть представляет собой сумму работ соответственно внутренних консервативных, внутренних неконсервативных и внешних сил над движущейся точкой.

Просуммируем выражения типа (20) по всем точкам системы. Слева получим изменение кинетической энергии системы

, справа — сумму работ рассматриваемых сил уже над всеми точками системы:

Но работу внутренних консервативных сил можно выразить через разность потенциальных энергий системы в состояниях 1 и 2:

Величина Е = W + U называется полной механической (или просто механической) энергией системы, а выражение (23) показывает, что ее изменение равно сумме работ внутренних неконсервативных и внешних сил. Из него нетрудно получить условие, при котором энергия сохраняется (закон сохранения энергии):

Поскольку условие (25) должно выполняться для произвольной траектории каждой точки системы, из него вытекает равенство нулю геометрической суммы приложенных к ней внутренней неконсервативной и внешней сил, а так как внутренние силы зависят от взаимного положения частиц, а внешние — нет, то отсюда следует равенство нулю каждой силы в отдельности**).

Таким образом, закон сохранения энергии можно сформулировать в следующей форме: полная механическая энергия системы сохраняется, если выполняются два условия:

2) система консервативна (отсутствуют неконсервативные силы).

В отличие от импульса, который сохраняется в любой замкнутой системе, для сохранения энергии необходимо еще отсутствие неконсервативных сил. Откуда возникает это дополнительное условие? Ведь неконсервативные силы, конечно, удовлетворяют III закону Ньютона, и каждой внутренней силе найдется противодействующая. Почему же их работы взаимно не уничтожаются? Связано это с тем, что за равные промежутки времени взаимодействующие точки системы совершают разные перемещения (причем не только по величине, но и по направлению) и работа сил их взаимодействия оказывается отличной от нуля.

В качестве примера рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух одинаковых пластилиновых шариков, летящих навстречу друг другу с равными скоростями. Испытав центральный удар, оба они остановятся, и их кинетическая энергия "исчезнет" (разумеется, исчезнет она только из сферы механической, перейдя в энергию внутреннюю). Потеря механической энергии обусловлена здесь действием непотенциальных сил неупругого соударения. Что же касается импульса, то он как был до столкновения равен нулю (векторная сумма!), так и остался нулевым после него, т. е. сохранился.

В тех ситуациях, когда характер внешних сил нам известен и среди них есть консервативные (обычно это силы тяжести со стороны Земли, которая не включена в рассматриваемую систему), нет смысла разбивать их на внутренние и внешние. Как следует из нашего рассмотрения, обе эти категории сил совершенно равноправны и существенной оказывается лишь их потенциальность (или непотенциальность). В этом случае, очевидно, изменение полной механической энергии системы равно просто сумме работ всех неконсервативных сил. При этом, конечно, потенциальная энергия системы определяется из работы не только внутренних, но и внешних консервативных сил.

1. Мы доказали законы сохранения импульса и энергии, получив их из законов Ньютона. На самом деле они являются более общими принципами и сфера их действия гораздо шире ньютоновой механики.

2. Рассматривая и доказывая законы сохранения, мы фактически искали комбинации кинематических и динамических характеристик, которые при определенных условиях сохраняются. Мы заметили, что если для каждой точки системы построить вектор mv и сложить их все, то в замкнутой системе эта сумма сохраняется. Мы назвали этот вектор импульсом. Там же "всплыла" другая комбинация —

. Оказывается, что точка, радиус-вектор которой определяется этим выражением, движется по очень простому закону, а если система замкнута — равномерно и прямолинейно. Мы назвали ее центром масс.

Сейчас мы обнаружили взаимосвязь новых комбинаций

и (F,dr). Мы нашли, что

причем для определенного класса сил эта сумма очень просто вычисляется путем введения некой скалярной функции (это справедливо и для точки, и для системы материальных точек). Функцию мы назвали потенциальной энергией, а введенные величины — соответственно кинетической энергией и работой. Мы увидели далее, что в замкнутых и консервативных системах сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняется.

Можно из двух векторов r и mv сконструировать по определенным правилам третий (его называют моментом импульса) и получить условие, при котором он сохраняется, и т.д.

В дальнейшем вы увидите, что изучение физики вообще в значительной степени сводится к построению тех или иных комбинаций различных величин и выяснению условий, при которых эти комбинации сохраняются.

*) Консервативный характер гравитационных сил следует из приводимого в лекции 10 доказательства потенциальности кулоновых сил, ибо математические формулировки законов, лежащих в основе обоих этих типов взаимодействий, идентичны. Из этого доказательства следует также, что любое центральное поле потенциально, а отсюда вытекает и потенциальный характер сил упругости. Рассматривая силы взаимодействия, возникающие между любыми точками деформированного тела, и учитывая, что они действуют вдоль линии, соединяющей эти точки, и являются однозначными функциями расстояний между ними (упругие деформации!), можно уподобить данные силы центральным и таким образом строго доказать их потенциальность.

*) См. лекцию 12, где такое доказательство проводится для случая кулоновских сил.

**) Строго говоря, это достаточные условия сохранения механической энергии. Бывают ситуации, когда диссипативные (т.е. неконсервативные) силы есть, а механическая энергия сохраняется (например, шарик, катающийся без проскальзывания по дну сферической чаши). Необходимыми и достаточными условиями являются лишь равенства нулю работ внутренних диссипативных и внешних сил. Эти условия, однако, оказываются гораздо менее универсальными по применимости, ибо требуют в каждом конкретном случае рассмотрения всевозможных траекторий и работ по ним (обязательно равных нулю!) диссипативных сил.

Глава 2. ДИНАМИКА